صفحه اصلی وبلاگ

  1. فرض کنید R و 'R دو حلقه باشند که تمام اعضایش خودتوان هستند و را تابعی یک به یک و پوشا در نظر بگیرید با این ویژگی که برای هر  داریم: . ثابت کنید .

    منبع : فرهنگ و اندیشه ریاضی، مساله ۵۷

    حل مساله:

    واضح است که     R و 'R جابجایی و از مشخصه ۲ است. چون  ، پس پوشا بودن f نتیجه می دهد که  طوری موجود است که . درنتیجه 

    حال فرض کنید . چون ، پس  چنان موجود است که . می توانیم بنویسیم:

    حال چون f یک به یک است، می توان نوشت:

    به همین ترتیب می توان ثابت کرد که  اکنون داریم

    (زیرا  ). در نتیجه و لذا .
  2. یک R-مدول A با تولید متناهی مثال بزنید که دارای زیر مدولی مانند B باشد که با تولید متناهی نباشد.

    منبع : فرهنگ و اندیشه ریاضی، مساله 2

    حل مساله:

    می دانیم اگر R حلقه ای یکدار باشد، R  یک R-مدول متناهی مولد خواهد بود که زیر مدولهای آن به عنوان  R-مدول، دقیقاً همان ایده آلهای چپ R به عنوان حلقه هستند و متناهی مولد بودن این زیر مدولها معادل با متناهی مولد بودن ایده آلهای چپ است. حال قرار می دهیم 0104. در این صورت R یک R-مدول متناهی مولد است و زیر مدول (ایده آل) 0105 از آن متناهی مولد نمی باشد.
  3. حلقه تعویض پذیر و یکدار R را حلقه زنجیر گوییم هر گاه ایدآلهای آن با هم قابل مقایسه باشند. یعنی اگر A و B دو اید آل از R باشند آنگاه 0351یا 0352. اگر I ایدآلی از یک حلقه زنجیر باشد و 0353، ثابت کنید P یک ایدآل اول R است.

    منبع : فرهنگ و اندیشه ریاضی، مساله 2۲

    حل مساله:

    فرض کنید a و b عناصری از R باشند و ab نیز عنصری از P. باید ثابت کنیم حداقل یکی از این دو عنصری از P  هستند. فرض کنیم نه a و نه b هیچکدام عنصری از P نباشند. در این صورت اعداد طبیعی m و n چنان وجود دارند که 0354 و 0355. چون R حلقه زنجیر فرض شده است پس 0356 و 0357 و لذا 0358. اما از 0359 نتیجه می شود  0360 و در نتیجه 0361. بنابر این

    0362

    قرار می دهیم 0363 و 0364. در اینصورت 0365و لذا

    0366

    چون R حلقه زنجیر فرض شده است، پس فقط یک ماکسیمال مانند M دارد و می توان فرض کردc عنصری از M است. در نتیجه 0367 عنصری از M نیست و باید وارون پذیر باشد و لذا c=0. پس J=0 و در نتیجه P=0 که یک تناقض است.

    30/5/1385
  4.