مسائل نظریه گروهها

صفحه اصلی وبلاگ

1. فرض کنید G یک گروه و N زیرگروهی نرمال از آن باشد به طوریکه . اگر تمام زیرگروههای N در G نرمال باشند، ثابت کنید  آبلی است.
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله ۵۲
   
   حل مساله:
   
   فرض کنید  و . بنابر فرض و لذا   و   برای یک . در نتیجه می توان نوشت:
    
                    
   
   
   باز هم می توان نوشت:
   
   
   
   
   و لذا  . پس ، یعنی  آبلی است.

   ---

   
   
2. فرض کنید G گروهی حلپذیر باشد که شرطهای زنجیر فزاینده و کاهنده در مورد زیرگروههایش صادق است. ثابت کنید که G باید گروهی متناهی باشد.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 1
   
   حل مساله:
   
   فرض کنیم a عضوی دلخواه از G باشد. واضح است که  و چون G در شرط زنجیرهای نزولی صدق می کند، پس لزوماً n ای طبیعی موجود است که  و لذا به ازای یک t ی صحیح،  یا ، پس مرتبه a متناهی است. چون a دلخواه بود، تمام اعضای G دارای مرتبه متناهی هستند و لذا G گروهی تابدار است.  حال نشان می دهیم که G متناهی مولد است. برای این کار یک عضو a₁ از G انتخاب می کنیم. اگر ، کار تمام است. در غیر اینصورت یک عضو   انتخاب می کنیم، پس . اگر کار تمام است و در غیر این صورت یک عضو  انتخاب می کنیم و لذا . چون G در شرط زنجیرهای صعودی صدق می کند پس از تعداد متناهی مرحله لزوماً  . پس G گروهی حلپذیر، متناهی مولد و تابدار است و در نتیجه متناهی است.

   ---

3. فرض کنید G گروهی متناهی باشد و اشتراک تمام زیرگروههای p-سیلوی آن زیرگروه همانی و یکی از p-سیلوهای آن آبلی باشد. ثابت کنید
   
   (الف) فرض کنید P₁ و P₂ و ...و P_n تمام زیرگروههای p-سیلوی G باشند که
   
   
   
   آنگاه  شامل تمام زیرگروههای p-سیلوی G نیست.
   
   (ب) دو زیرگروه p-سیلو مانند R و Q وجود دارند که .
   
   حل مساله:
   
   (الف) چون اشتراک همه زیرگروههای p-سیلوی G مساوی {e} است پس زیرگروه p-سیلویی مانند P  وجود دارد که به ازای هر i که ، . حال اگر  شامل تمام زیرگروههای p-سیلوی G باشد، آنگاه . در نتیجه PH  یک p-زیرگروه از G شامل P و لذا P شامل H است و این تناقض با تعریف H دارد.
   
   (ب) 

   ---

   
   
4. فرض کنید G یک گروه متناهی نابدیهی است و یک p-گروه است. ثابت کنید q-زیرگروه سیلویی مانند Q از G وجود دارد که به ازای هر ، (p و q اعداد اول هستند. )
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 8
   
   حل مساله:
   
   ابتدا فرض می کنیم  . در این صورت یک عدد اول q که  موجود است که  و لذا G دارای یک زیرگروه q-سیلو می باشد.  را مجموعه q-زیرگروههای سیلوی G در نظر بگیرید. بنابر قضیه سوم سیلو  و . گروه P به روش معمول روی  عمل می کند و مرتبه هر مدار  از این عمل باید  را عاد کند و لذا توانی از p خواهد بود. اگر رابطه که ، برای هر مدار  برقرار باشد، آنگاه زیرا  اجتماعی از مدارهاست و در نتیجه p مرتبه G را عاد می کند که تناقض است. لذا حداقل یک مدار به طول 1 موجود است؛ یعنی یک زیر گروه q-سیلوی پایدار تحت عمل P موجود است.
   حال فرض می کنیم که p مرتبه G را عاد کند. لذا G دارای یک زیرگروه p -سیلو خواهد بود.  در این حالت  را مجموعه p-زیرگروههای سیلوی G در نظر بگیرید. بنابر این و. پس مانند بالا که تناقض است. پس ثابت شد که در هر صورت حداقل یک زیرگروه p -سیلو تحت عمل P پایاست.
   
   

   ---

5. فرض کنید H و K دو زیر گروه از گروه جمعی باشند و . آیا می توان نتیجه گرفت که ؟
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 13
   
   حل مساله:
   
   می دانیم که گروه جمعی بخش پذیر است و لذا بنابرقضیه رده بندی این گروهها از آنجا که  دارای عضو نابدیهی از مرتبه متناهی نیست،  با جمع مستقیم تعداد نامتناهی یکریخت است؛ یعنی . حال اگر  و داریم ؛  اما و که دیده می شود .
   
   

   ---

6. اگر G گروهی متناهی، غیربدیهی و حلپذیر باشد، ثابت کنید حداکثر یک عدد اول p وجود دارد به طوریکه برای p-زیرگروه سیلوی P ،
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 24
   
   حل مساله:
   
   فرض کنید   سری ترکیبی G باشد. همچنین فرض کنید اعداد اول متمایز p و q از مقسوم علیه های |G| چنان وجود دارند که اگر P یک p-زیرگروه سیلو یا یک q-زیرگروه سیلو از G باشد، آنگاه . چون G حلپذیر و عوامل ترکیب در سری فوق گروههای ساده اند لذا i چنان وجود دارد که و لذا شامل q-زیرگروه سیلوی Q از G است. پس  و بنابر بحث فراتینی
   
   که تناقضی آشکار است.
   
   6/6/1385

   ---

7.  فرض کنید G گروهی کامل باشد( یعنی مشتق گروه برابر خود گروه باشد). ثابت کنید هر زیرگروه نرمال دوری G زیر مجموعه ای از مرکز G است.
   
   
   فرض کنید H زیر گروه نرمال دوری G باشد. می دانیم که زیر گروهی مانند K از اتومورفیسم های H چنان موجود است که
   
   
   
   
   چون H در G نرمال است، لذا
   
   
   
   
   بنابرفرض H دوری است، لذا گروه اتومورفیسم های H آبلی و در نتیجه K نیز آبلی است. بنابر این
   
   
   
   
   که نتیجه می دهد H زیرگروهی از مرکز G است.
   
   ۸/۶/۱۳۸۶

   ---