مسائل جبر خطی

صفحه اصلی وبلاگ

1. فرض کنید A ماتریسی مربعی از مرتبه n و با درایه های مختلط باشد که تمام مقادیر ویژه آن حقیقی است و  .ثابت کنید  عددی صحیح است و برای هر عدد طبیعی k، داریم: .  
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله ۵۳ 
   
   حل مساله: 
   
   فرض کنید  تمام مقادیر ویژه A باشند. پس می توان نوشت:
   
   
   .
   پس 
   .
   
   چون همه مقادیر ویژه، حقیقی هستند، پس همگی یا صفرند یا یک. چون
   
   پس  عددی صحیح است و  تا از  مقادیر ویژه، برابر یک و بقیه آنها صفرند. پس
   
   

   

   15/1/1386
   

   ---

2.  فرض کنیم A و B دو ماتریس  باشند بطوری که AB-BA وارونپذیر باشد و نیز . ثابت کنید  (n مضربی از 3 است).
   
   حل مساله:
   
   قرار دهید  و . لذا   و . در نتیجه  . بنابر این با استفاده از فرض مساله می توان نوشت:. قرار دهید  و . لذا بنابر فرض مساله P و Q وارون پذیرند. حال با محاسبه A و B بر حسب P و Q داریم:  و . حال با توجه بهمی توان نوشت:
       
                          
   
   با استفاده از رابطه های  و  و با ساده کردن تساوی بالا می توان نوشت: . حال با گرفتن دترمینان از طرفین، نتیجه می شود:  و در نتیجه:
               
   .
    
   حال چون ، لذا n مضربی از 3 است.
   
   15/1/1386

   ---

3. اگر x ماتریسی روی میدان F  باشد، ثابت کنید:
   
   
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 9
   
   حل مساله:
   
   ماتریسهای بلوکی زیر را در نظر بگیرید:
   
   
   
   چون
   
   
   
    پس
   
   
   

   ---

4.