مسائل آنالیز ریاضی و توپولوژی

صفحه اصلی وبلاگ

1. برای عدد گویای x فرض کنید  که a و b کوچکترین اعداد ممکن باشند. فرض کنید . ثابت کنید  . به طور کلی تر، یک دنباله نامتناهی از توانهای گویای متمایز s چنان ارائه کنید که گویا باشد.  حل مساله

   ---

2. فرض کنید  و دنباله  در اندازه به f میل کند. نشان دهید
   .
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 6
   
   حل مساله:
   
   چون به ازای هر n، ، پس . فرض کنید و فرض کنید زیر دنباله ای از  باشد که . چون  در اندازه به f میل می کند پس  نیز دز اندازه به f میل می کند؛ در نتیجه یک زیر دنباله  از  موجود است که تقریباً همه جا به f میل می کند. حال ؛ پس بنابر لم فاتو می توان گفت:

   

   اما داریم:
   
   

   

    که مطلب خواسته شده را نتیجه می دهد.
   
   

   ---

   
   
3.  فرض کنید E یک فضای خطی نرمدار و F زیر فضایی از E باشد. اگر E-F ناهمبند باشد، ثابت کنید F بسته است.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 7
   
   
   حل مساله:
   
   از آنجا که برای هر ،  همبند است، و با توجه به فرض ناهمبندی E-F، نتیجه می گیریم که به ازای هر x از E-F، (در واقع  یک بعدی است). عضو e از E-F را ثابت در نظر بگیرید و تابع را با ضابطه تعریف کنید . قرار دهید و . می توان نشان داد A و B همبند کمانی هستند. حال اگر F بسته نباشد، دنباله ای مانند از اعضای F به e همگرا خواهد بود؛ پس  به همگراست. در واقع B نقطه حدی در A  پیدا می کند و این نشان می دهد که مجموعه  همبند است که متناقض با فرض ناهمبندی است؛ پس F لزوما بسته است.
   
   

   ---

4. فرض کنید  و  . ثابت کنید اگر به ازای هر زیر مجموعه باز U از ، . ثابت کنید تقریبا همه جا f=0.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله 10
   
   
   حل مساله:
   
   ابتدا نشان می دهیم که به ازای هر یک زیرمجموعه باز V از موجود است که
   
   

   

   برای این کار اعداد گویا را به صورت دنباله در نظر می گیریم. به ازای هر n از اعداد طبیعی قرار می دهیم:
   
   

   

   در این صورت یک زیر مجموعه باز است و به آسانی دیده می شود که  . همچنین . حال فرض کنید به ازای هر باز U از ،
   
   

   

   به ازای هر عدد را چنان انتخاب می کنیم که به ازای هر  که ، . پس  و
   
   

   

   چون  دلخواه بود بنابراین و چون  لذا تقریبا همه جا f=0.

   ---

5. مجموع سری  را پیدا کنید.
   
   منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی مساله ۱۵
   
   حل مساله:
   
   سری توانی  را روی  در نظر می گیریم. این سری روی  همگرای مطلق است.فرض کنید 
   

   

    چون همگرایی مطلق است مجازیم سری را تجدید آرایش کنیم:
   
   

   

   با انتگرالگیری به دست می آید:
   
   

   

   پس برای  داریم:
   
   

   

   و لذا به کمک قضیه حدی آبل وقتی  به دست می آید:
   
   

   

   ---

6.