مسائل نظریه اعداد

صفحه اصلی وبلاگ

1. دنباله اعداد طبیعی a₁, a₂, a₃, ... را به این صورت تعریف می کنیم که a₁ بر عدد پنج بخش پذیر نیست و a_n+1=a_n+d_n که d_n آخرین رقم a_n است. ثابت کنید این دنباله شامل تعدادنامتناهی جمله به شکل 2^k است. حل مساله

   ---

2.  (الف) فرض کنید m و n دو عدد طبیعی باشند و n>1. ثابت کنید عدد زیر عددی اصم است:
   
   
   
   
   (ب) یک نقطه در صفحه را نقطه گویا ی نابدیهی گوییم اگر طول و عرض آن عدد گویای ناصفر باشد. فرض کنید x عددی با قدر مطلق کمتر یا مساوی 1 باشد و n عددی طبیعی بزرگتر یا مساوی 3 . ثابت کنید منحنی تابع زیر دارای نقطه گویا ی نابدیهی نیست:
   
   
   
   
   (توجه کنید که این دو مساله با وجود تفاوت ساختاری، تقریبا به یک روش حل می شوند.)
   
   حل مساله:
   
    آخرین قضیه فرما یا FLT بیان میکند که
   
   
   
   
   به راحتی می توان ثابت کرد که مساله بالا معادل مطلب زیر است:
   
   
   
   
   حل مساله (الف):
   
   توجه کنید که اگر n=2 ، آنگاه می توان ثابت کرد
   
   
   
   
   فرض کنید n بزرگتر یا مساوی 3 باشد. به برهان خلف عمل می کنیم:
   
   
   
   
   که این مخالف قضیه فرماست.
   
   حل مساله (ب):
   
   فرض کنیم (x,y) نقطه گویای نابدیهی روی تابع f باشد. با جایگذاری مقادیر در تابع f و رساندن طرفین به توان n و تنظیم آن به عبارت معادل دوم از قضیه فرما می رسیم که باز تناقض است.
   
   ۱۴/۱۰/۱۳۸۵

   ---

3.