صفحه اصلی وبلاگ

  1. فرض کنید a و b دو عدد مثبت باشند. مقدار انتگرال ناسره زیر را بیابید:


    0012

    حل مساله:

     انتگرال بالا را I بنامید. می توان دید که:

    0042

    و لذا

    0043
  2.  نامساوی زیر را ثابت کنید:

    0297

    منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی-مساله ۱۶

    حل مساله:

    تابع 0298 را با ضابطه  0299 در نظر بگیرید. پس از مشتق گیری می توان دید که f قبل از b  نزولی و بعد از b صعودی است و در نقطه b  مینیمم مطلق خود را می گیرد. پس می توان نوشت 0300 که نامساوی را ثابت می کند.

  3. همه خطوط راستی را بیابید که در رویه 0336 قرار دارد.

    منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی-مساله ۲۰

    حل مساله:

    معادله پارامتری خطی که از نقطه 0337 و در راستای 0338 می گذرد توسط معدلات زیر داده می شود:

    0339

    شرط لازم و کافی برای آنکه چنین خطی در رویه 0336 واقع شود آن است که برای هر t داشته باشیم:

    0340

    لذا 0341. اما d1 و d2 نمی توانند همزمان صفر شوند، زیرا در این صورت باید داشته باشیم:0342 که تناقض است. پس

    0343

    لذا تنها خطوط راستی که در رویه 0336 واقعند به شکل 0344 یا به شکل 0345 هستند که در آن a عدد ثابت و دلخواهی است. شکل رویه 0336 را ذیلاً مشاهده می فرمایید.

    ۱۵/۵/۱۳۸۵
  4.  فرض کنید a, b , c , d همگی مثبت باشند. نامساوی زیر را ثابت کنید:


    منبع: حل مساله از طریق مساله، ترجمه علی ساوجی

    حل مساله:

    کافیست ثابت کنیم:


    می توان نوشت:


    پس ثابت می کنیم:


    بنابر نامساوی کوشی شوارتز (رجوع کنید به اینجا) می توان نوشت:


    بنابراین


    حال با رساندن طرفین به توان دو و سپس ساده کردن طرفین مساله حل می شود.

    مشابه روش بالا می توان در حالت کلی ثابت کرد:

    ۱۵/۷/۱۳۸۵

  5.