جلسه ی دوم (اعداد حقیقی - قدر مطلق

جلسه ی دوم (اعداد حقیقی - قدر مطلق - بازه ها)

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

حل و بحث مسائل کتاب حسابان جدید و رفع اشکال

موضوع: اعداد حقیقی - قدر مطلق - بازه ها

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

نکات اصلی:

اعداد گویا و اعداد گنگ (اصم) را تعریف کنید.
معرفی چند عدد گنگ به وسیله بسط اعشاری آنها:

اعداد زیر همگی اعداد گنگ هستند (چرا؟) :

$1.23456789101112131415...$

و

$0.101001000100001000001...$

و

. $2.46810121416...$
به همین ترتیب می توان بی نهایت عدد گنگ ساخت (تنها کافیست بسط اعشاری این عدد هیچ دوره ی تناوب یا دوره ی تکراری نداشته باشد). بنابر این فقط $\cdots ,\pi ,\cdots,\sqrt 5 ,\sqrt 3 ,\sqrt 2$ اعداد گنگ نیستند.
اعداد $\cdots ,\sqrt n , \cdots ,\sqrt 4 ,\sqrt 3 ,\sqrt 2$ را فقط با استفاده از خط کش و پرگار روی خط اعداد حقیقی مشخص کنید. (آیا می توانید به همین وسیله «عدد پی» را روی خط اعداد حقیقی مشخص کنید؟!)
تعریف جبری |x| (قدر مطلق x )، که x عددی حقیقی است:

$\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\quad \,\;\,\,\,\,\,x > 0 \\ 0\quad \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \\ - x\;\,\,x < 0 \\ \end{array} \right.$
تعریف هندسی |x|: قدر مطلق x عبارت است از فاصله عدد x از مبداُ مختصات. به همین دلیل برای هر x داریم: $\left| x \right| \ge 0$ و نیز می توان نوشت: $\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .
اگر a و b دو عدد حقیقی باشند، آنگاه |a-b| عبارتست از فاصله ی بین a و b؛ به همین دلیل می توان نوشت:
|b-a|=|a-b|
فرض کنید a عددی حقیقی و b عددی نامنفی باشد، در اینصورت می توان نوشت:

(الف) $\left| a \right| \le b \Leftrightarrow - b \le a \le b$

(ب) $\left| a \right| \ge b$ اگر و فقط اگر $a \ge b$ یا $a \leq- b$ .

توجه: اگر در (الف) و (ب) همه جا تساویها را برداریم، باز هم عبارات درستی خواهیم داشت.
با توجه به نکته ی پنجم، تعبیر هندسی نکته ی 7 را بیان کنید.
بازه های زیر را با استفاده از نماد مجموعه تعریف کنید و آنها را روی خط اعداد حقیقی نمایش دهید(a و b اعداد حقیقی هستند و a از b کوچکتر است):

$[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$
و

$[a, + \infty ),( - \infty ,a],(a, + \infty ),( - \infty ,a),( - \infty , + \infty )$

چند نکته ی دیگر:

حل چند مساله از مسائل کتاب:

تمرین ۱ صفحه ی ۴:

نشان دهید نقطه ی میانی بازه ی (a,b) برابر است با $\frac{a+b}{2}$ .

حل مساله:

دو عبارت $\left| {a-\frac{a+b}{2}} \right|$ و $\left| {b-\frac{a+b}{2}} \right|$ را محاسبه کنید و نشان دهید این دو با یکدیگر برابرند. بنابر نکته ی 6 نتیجه بگیرید که فاصله ی $\frac{a+b}{2}$ از a و b یکسان است.