ریاضی گسسته پیش دانشگاهی
تذکر مهم: بازدید کننده محترم، اگر تصاویر و فرمولهای این صفحه را نمی بینید صفحه را refresh کنید.
اگر باز هم تصاویر و فرمولهای ظاهر نشدند، لطفا این مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
ممنون و متشکرم.
- فرض کنید n عددی طبیعی بزرگتر یا مساوی 2 باشد. ثابت کنید که
اصم است.
مهدی مفیدی احمدی
حل مساله:
به برهان خلف فرض کنید که این عدد گویا باشد. توجه کنید که این عدد یک عدد طبیعی نیست زیرا بین 2 و 3 است. در استدلال زیر می توان فرض کرد که a و b دو عدد طبیعی نسبت به هم اولند.
که یک تناقض است زیرا نتیجه می دهد که این عدد یک عدد طبیعی است.
(۲۶/۴/۱۳۸۵)
-
فرض کنید m و n اعداد طبیعی باشند. نامساوی زیر را ثابت کنید:
منبع: مسابقه پاتنام آمریکا-سال۲۰۰۴
حل مساله:
می توان دید
حال اگر جمله سمت راست نامساوی آخر را بوسیله بسط دو جمله ای نیوتن بسط دهید، عبارت سمت چپش، یکی از جملات آن است.
-
اگر
که 
، ثابت کنید 
عددی صحیح است.
منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
حل مساله:
مساله را به استقراء روی n حل می کنیم. برای n=1 حکم واضح است. برای اعداد کمتر یا مساوی n حکم را می پذیریم و برای n+1 ثابت می کنیم.
بنابر فرض
، 
و 
اعداد صحیح هستند که نتیجه را ثابت می کند.
۴/۵/۱۳۸۵
-
به ازای عدد صحیح و مثبت n تعداد چهارتاییهای
از اعداد صحیح را بیابید به طوری که 
.
منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی
حل مساله:
ایده کلیدی که موجب روشن شدن حل مساله می شود توجه به این نکته است که تناظری یک به یک بین چهارتاییهای مجموعه مورد نظر ما و زیر مجموعه های چهارتایی مجموعه
وجود دارد. به ویژه فرض کنید که در آن ، با زیر مجموعه 
نظیر شود. به سادگی دیده می شود که این، تناظری یک به یک است. به عبارت دیگر هر عضو مجموعه مورد نظر ما، دقیقاً با یکی از زیر مجموعه های چهارتایی متناظر است و به عکس. در نتیجه عدد خواسته شده 
است.
-
ثابت کنید حاصلجمع هیچ k عدد طبیعی متوالی(k>1) را نمی توان به صورت توانی از عدد 2 نوشت.
منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
حل مساله:
فرض کنید حاصلجمع k عدد طبیعی متوالی که از n شروع شده باشند به صورت توانی از عدد 2 نوشته شده باشد. می توان نوشت:
بنابر این k باید زوج باشد که در این صورت عبارت داخل پرانتز آخر، فرد خواهد شد که تناقض با طرف راست دارد زیرا طرف راست، توانی از 2 است.
۷/۵/۱۳۸۵
-
تعیین کنید به ازای چه مقادیری از عدد طبیعی n عبارت زیر مجذور کامل است:
منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
حل مساله:
اگر
برای n=1 و n=4 مجذور کامل داریم. اگر 
:
ولی هیچ مجذوری به پیمانه 5 همنهشت با 3 نیست. پس تنها n=1 و n=4 جواب مساله هستند.
۱۵/۵/۱۳۸۵
- کوچکترین عدد طبیعی n را بیابید که اگر آخرین رقم سمت راست آنرا به سمت چپ انتقال دهیم، عدد حاصل «سه دوم» عدد n شود.
منبع: کتاب المپیاد ریاضی در ایران-تالیف دکتر عبادالله محمودیان
حل مساله:
با نمایش اعداد طبیعی در مبنای 10 و با توجه به فرض مساله می نویسیم:
فرض کنید:
(قبل از ادامه حل مساله به این دو مثال توجه کنید: 31+2*2^10=231 و 2+568*10=5682)
حال می توان نوشت:
کمترین مقدار k که در این رابطه صدق می کند عبارت است از 5 و کوچکترین مقدار n به وسیله کوچکترین مقدار k و a0 به دست می آید. حال با توجه به رابطه (1) :
۱۱/۶/۱۳۸۵
- سه گروه از دانشمندان ریاضی از سه کشور مختلف در یک کنفرانس گرد آمده اند. می خواهیم جلسات سه نفری از این دانشمندان تشکیل دهیم به طوری که از هر گروه فقط یک نفر شرکت داشته باشد و هر دو نفر دقیقاً در یک جلسه با هم شرکت کرده باشند.
الف) اگر این کار امکان پذیر باشد نشان دهید تعداد افراد هر سه گروه مساویند.
ب) در حالتی که تعداد افراد هر گروه ، سه باشد نشان دهید این عمل امکان پذیر است.
حل مساله:
فرض کنید دانشمندان مجموعه های
باشند. برای هر یک از اعضای مجموعه ها نقطه ای روی صفحه متناظر می کنیم (شکل زیر برای حالت 3=m=n=p نشان داده شده است).
اگر یک دانشمند مثلا a_i با یک دانشمند مثلا b_j در یک جلسه شرکت داشته باشد یک خط بین این دو رسم می کنیم. تمام نقاط A را به هر یک از نقاط B و C و همین طور هر یک از نقاط B را به هر یک از نقاط C وصل می کنیم. منظور مساله، افراز خطوط حاصل به مثلثهایی است که سه راس آنها یکی در A ، یکی در B و یکی در C است.
الف) مثلثهای مذکور از هر قسمت {A,B}، {B,C} و {A,C} دقیقاً یک خط در بر دارد؛ پس باید تعدادخطوط بین این قسمتها با هم مساوی باشند. در نتیجه mp=mn و np=mn و لذا m=n=p.
ب) مثلثها می توانند به صورت زیر باشند:
جدول زیر بیانگر حل این حالت از مساله است(a_i و b_j با c_k که از جدول به دست می آید، یک جلسه تشکیل خواهند داد و c_k در ستون a_i و سطر b_j قرار دارد.)
(توضیح بیشتر: در حالت کلی نیز کافیست از جدولی همانند جدول بالا استفاده کنیم. ماتریسی که در داخل جدول بالا مشاهده می کنید به ماتریس دوری معروف است.)
۶/۱۰/۱۳۸۵
- همه اعداد طبیعی مانند n را پیدا کنید که برای آنها اعداد طبیعی n_k ، ...، n_2 ، n_1 همگی بزرگتر از 3 وجود داشته باشند به طوریکه:
حل مساله:
فرض کنید عدد n در شرایط مساله صدق کند. می توان دید که اگر عدد n+1 توانی از عدد 2 باشد و این توان کمتر از 10 باشد، تنها توان مورد قبول بنابر شرایط مساله عبارت است از 3؛ یعنی عدد 7 یکی از اعداد مورد نظر است. حال فرض کنید m ، بزرگتر یا مساوی 10 باشد و
اگر عدد l حداقل 10 باشد آنگاه
لذا بنابر استقراء
بنابر این
حال چون همه n_i ها فرد و بزرگتر از 3 هستند، لذا
و در نتیجه
که تناقض است. بنابر این تنها عدد قابل قبول، همان 7 است.
۶/۱۰/۱۳۸۵
- فرض کنید Pn،...،P1 زیر مجموعه های دو عضوی متمایز از مجموعه {a1,...,an} باشند به طوریکه اگر اشتراک Pi و Pj ناتهی باشد، آنگاه مجموعه {ai , aj} یکی از P هاست. نشان دهید که هر a دقیقاً در یک جفت از P ها ظاهر می شود.
حل مساله:
برای مشاهده حل این مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید.
http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w20.jpg
(منبع: کتاب المپیادهای ریاضی بین المللی، ترجمه محمد قاسم وحیدی اصل)
۱۴/۱۰/۱۳۸۵
- فرض کنید y، x و z سه عدد فرد طبیعی باشند. حداقل با دو روش متفاوت ثابت کنید:
حل مساله:
در لینک زیر سه روش برای حل این مساله زیبا ارائه شده است:
http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w19.jpg
۱۴/۱۰/۱۳۸۵
- ثابت کنید در میان اعداد روبرو، عدد اولی وجود ندارد: 10001, 100010001, 1000100010001,...
حل مساله:
اگر قرار دهید x=10 دنباله ی مطرح شده، به صورت زیر در می آید:
اگر n عددی فرد باشد، مثلاً n=2m+1 ، خواهیم داشت:
که نشان می دهد این عدد اول نیست .( توجه کنید که در این حالت m=0 یا m>0).
اگر n عددی زوج باشد، مثلاً n=2m، آنگاه:
که باز نشان می دهد عدد بالا مرکب است.
۳۰/۵/۱۳۸۶
- سکه ای را n بار پرتاب می کنیم. ثابت کنید که اگر n>2 ، احتمال آنکه در بین پرتابها دوبار متوالی پشت بیاید، برابر است با
که F_n جمله ی n-ام دنباله فیبوناتچی است.
حل مساله:
فرض کنید احتمال آنکه در n پرتاب، هیچگاه دو پشت متوالی ظاهر نشود، P_n باشد. لذا P_1 و P_2 به ترتیب یک و سه چهارم است. حال فرض کنید n>2. اگر اولین پرتاب رو بیاید، واضح است که احتمال تعریف شده {P_{n-1 است. اگر اولین پرتاب پشت بیاید، باید دومین پرتاب رو باشد و لذا احتمال اینکه در n-2 پرتاب بعدی دو پشت متوالی رخ ندهد برابر است با {P_{n-2 . قرار دهید:
لذا
تساوی آخر همان دنباله فیبوناتچی است که {S_n=F_{n+2. بنابر این احتمال مورد نظر برابر است با
۱۴/۹/۱۳۸۶