مسائل حسابان سوم ریاضی

صفحه اصلی وبلاگ

تذکر مهم: بازدید کننده محترم، اگر تصاویر و فرمولهای این صفحه را نمی بینید صفحه را refresh کنید.
اگر باز هم تصاویر و فرمولهای ظاهر نشدند، لطفا این مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
ممنون و متشکرم.

ثابت کنید تابع زیر، ریشه حقیقی ندارد:

حل مساله:
تابع بالا را f بنامید. توجه کنید که اگر x منفی یا صفر باشد آنگاه حال فرض کنید x مثبت باشد. عبارت را محاسبه کنید و به دست آورید:

که باز نتیجه می دهد .

نکته: مشابه روش بالا می توان ثابت کرد که در حالت کلی تابع زیر، ریشه حقیقی ندارد:

می توان ثابت کرد که می نیمم مقدار تابع بالا n+1 است.
معادله زیر را بدون استفاده از مجذور کردن دو طرف آن، حل کنید:

منبع: روشهای جبر استاد پرویز شهریاری جلد دوم

حل مساله:

با کمی دقت می توان دید که برای مقادیر مثبت x، تابع سمت چپ معادله، اکیدا صعودی و تابع سمت راست اکیدا نزولی است. بنابر این معادله حد اکثر یک ریشه دارد. حال به جای x در تابع سمت چپ، عبارت را قرار دهید. با محاسبه ای مختصر به تابع سمت راست می رسیم. در نتیجه از حل معادله تنها جواب معادله به دست می آید.
فرض کنید n عددی طبیعی باشد. تابع زیر را در نظر بگیرید. مشتق این تابع را نسبت به x در نقطه x=0 به دست آورید.

حل مساله:

حل این مساله بسیار ساده است اما ایده جالبی دارد. توجه کنید که پس از مشتق گرفتن، جز جمله اول، بقیه ضریب x دارند. بنابر این می توان دید که اگر n زوج باشد، جواب !n است و اگر n فرد باشد، جواب برابر است با !n-.
فرض کنید . حال f را 1977 بار با خودش ترکیب کنید و حاصل را تابع g بنامید. را حساب کنید.

منبع: کتاب پانصد مساله پیکارجو-ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

اگر f را سه بار با خودش ترکیب کنید به تابع همانی می رسید. چون 1977 بر 3 بخشپذیر است بنابر این مقدار همان 1976 است.
ثابت کنید تابعی با شرایط زیر وجود ندارد:

حل مساله:

به برهان خلف عمل می کنیم. فرض کنید چنین تابعی وجود داشته باشد. تعریف کنید:

توجه کنید که

نقاط 1- و 2 را نقاط ثابت تابع g می نامیم. اگر نقطه ای مانند x نقطه ثابت g باشد آنگاه (f(x نیز نقطه ثابت g خواهد بود. لذا با توجه به تعریف g می توان نوشت:

حال g را با خودش ترکیب کنید و به یک چندجمله ای درجه 4 به نام h برسید. این چندجمله ای را با x مساوی قرار دهید و پس از حل معادله به دست آمده، نقاط ثابت h را به دست آورید. مجموعه نقاط ثابت h را F بنامید. لذا:

همانند قبل می توان استدلال کرد که مجموعه زیر با F برابر است:

سومین عنصر F را a و چهارمین عنصر آنرا b بنامید و فرض کنید x ، عنصر a یا b باشد و (f(x را در نظر بگیرید. اگر

که تناقض است. بنابر این

به راحتی می توان دید که a و b نمی توانند نقاط ثابت f باشند لذا

که تناقض اصلی است. (توجه کنید که با توجه به ایده های به کار رفته در حل این مساله می توان مساله را تعمیم داد.)

۴/۶/۱۳۸۵
حداقل به دو روش متفاوت و کاملاً هندسی تساوی زیر را ثابت کنید:

منبع: المپیاد ریاضی در ایران جلد اول تالیف دکتر عباد الله محمودیان

حل مساله:

روش اول:

در مستطیل زیر فرض کنید 1=FG=GH=HE=AB=BC=CD. داریم:

روش دوم:

مثلث ABC را چنان رسم کنید که:

با توجه به قانون کسینوسها در مثلث می توان نوشت:

باز هم قانون کسینوسها در مثلث و رابطه ای که بین کسینوس و تانژانت موجود است نتیجه می دهد که:

که مطلب را نتیجه می دهد.

توضیحات: روش اول را از یکی از المپیادهای ریاضی دانش آموزی اقتباس کرده ام(رجوع کنید به کتاب المپیادهای ریاضی در ایران جلد اول تالیف دکتر عباد الله محمودیان). روش دوم نیز به وسیله یک دانشجوی چینی برای اینجانب ارسال شده است. به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=101273

در ضمن شکل هندسی بالا نیز با نرم افزار WinGCLC رسم شده است.

۱۵/۷/۱۳۸۵
فرض کنید:

ثابت کنید:

حل مساله:

برای دیدن راه حل مساله به لینک زیر مراجعه کنید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w28.GIF

۶/۱۰/۱۳۸۵
دستگاه معادلات مثلثاتی زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنید:

حل مساله:

برای مطالعه راه حل مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w23.JPG

۷/۱۰/۱۳۸۵
تابع f با شرایط زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنید مقدار f در نقطه 1982 برابر است با 660 .

حل مساله:

از Iron که مساله بالا را در اتاق ریاضیات حل کردند، متشکرم. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w21.jpg

در ضمن توجه کنید که تابعی با شرایط بالا موجود است؛ به طور مثال قرار دهید:

که [x] جزء صحیح x است.

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید

اگر برای هر x حقیقی داشته باشیم:

ثابت کنید:

حل مساله:

با توجه به فرض می توان نوشت:

که حل مساله را کامل می کند. ( البته این مساله را با استقراء روی تعداد جملات تابع f نیز می توان حل کرد. برای دیدن حالت کلی تری از این مساله که با استقراء ثابت شده است به اینجا مراجعه فرمایید.)

(کتاب حل مساله از طریق مساله، ترجمه علی ساوجی)

۱۴/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید A مجموعه ی اعداد گویای مثبت باشد. همه ی توابعی مانند f را که در شرایط زیر صدق می کنند، بیابید:

منبع: المپیاد ریاضی در ایران جلد اول تالیف دکتر عباد الله محمودیان

حل مساله:

می توان دید برای هر n از اعداد طبیعی داریم:

حال اگر a و b دو عدد طبیعی دلخواه باشند داریم:

از طرف دیگر

حال قرار دهید:

لذا

بنابر این تابع ذکر شده در مساله، فقط می تواند تابع همانی باشد.

۱۷/۵/۱۳۸۶
حد زیر را بیابید:

نظرتان درباره مقدار حد زیر که حالت کلی تر حد بالاست، چیست؟

حل مساله:

مساله را در حالت کلی تر حل می کنیم؛ یعنی ثابت می کنیم:

با اضافه کردن چند جمله مناسب به سمت چپ و با توجه به اینکه

داریم:

که حل مساله را کامل می کند. برای حالت کلی تر، می توان همین روش را به کار برد. اما روش دیگری را که زیباتر و ساده تر است، خدمتتان تقدیم می کنم (که آن را مدیون دوست بزرگوارم آقای مرتضی بیات - دانشجوی دکتری ریاضی مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان- هستم.)

قرار دهید:

لذا

بنابر این

البته روش دیگری نیز بر اساس بسط تیلور وجود دارد که جای آن اینجا نیست، برای دیدن آن به لینک زیر مراجعه فرمایید:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=143525

۹/۶/۱۳۸۶
ثابت کنید تنها دو تابع پیوسته در رابطه زیر صدق می کنند: تابع صفر و تابع همانی؛

حل مساله:

از abay که در اتاق ریاضیات این مساله را حل کردند، تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه فرمایید.

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/0533.GIF

۷/۹/۱۳۸۶
برد تابع زیر را حساب کنید:

$f(x)=\frac{{|x|}}{{[x]}}$

که $[x]$ جزء صحیح x است.