صفخه اصلی وبلاگ


تذکر مهم: بازدید کننده محترم، اگر تصاویر و فرمولهای این صفحه را نمی بینید صفحه را refresh کنید.
                اگر باز هم تصاویر و فرمولهای ظاهر نشدند، لطفا این مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
                ممنون و متشکرم. 


  1.  مقدار کسینوس 36 درجه را حساب کنید (تمام جزئیات روش خود را توضیح دهید).

    حل مساله:

     برای سادگی فرض کنید (x=cos(36. بنابراین x مثبت است. حال می توان نوشت:


     ۱۴/۶/۱۳۸۶
  2. بنابر مساله ی قبل 0022.  ثابت کنید:
     
    0023
    حل مساله:

     قرار دهید 0024ثابت می کنیم:

    0025

    داریم:
    0026

    حال اگر به جای آلفا، 18 قرار دهید، x به دست آمده ، مساله حل می شود.
  3. فرض کنید . در این صورت مقدار  را به دست آورید.

    حل مساله:

     از اتحاد زیر استفاده می کنیم:
    0019


    اگر طرفین  را به توان 2 برسانیم خواهیم داشت:

    0020

    حال اگر a=sinx و b=cosx با جایگذاری در اتحاد بالا به جواب زیر می رسیم:

    0021
  4. همه مقادیر ممکن برای عدد طبیعی b را پیدا کنید به طوری که کسر 0128 مساوی یک عدد صحیح باشد.

    منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش

    حل مساله:

    اگر کسر بالا را مساوی عدد طبیعی k  فرض کنید، خواهیم داشت 0129. حال با توجه به اینکه k  نمی تواند مساوی 1 باشد، طرف سمت چپ، منفی است و لذا k  برابر است با 2 یا 3. با بررسی مختصر می توان دید که باید b=2.
  5. ثابت کنید کسر 0147 برای همه مقادیر صحیح 0148 یک کسر ساده نشدنی است، یعنی برزگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج، ۱ است.

    منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش

    حل مساله:

    فرض کنید صورت و مخرج مضرب یک عدد طبیعی مانند n باشند. لذا برای یک k  از اعداد صحیح باید b+kn+1 نیز مضربی از n باشد. در نتیجه b+1 نیز مضربی از n است. چون b+2 مضربی از n است، لذا باید 1 نیز مضربی از n باشد. پس n=1.


  6.  اتحادهای زیر را در نظر بگیرید و به وسیله آنها سه مساله زیر را حل کنید (معمولا به اولین اتحاد، اتحاد اویلر می گویند):

    0160
      

    (الف)  ثابت کنید شرط لازم و کافی برای آنکه 0161 آن است که 0162 یا 0163.

    (ب) عبارت 0164 را به عوامل ضرب تجزیه کنید.

    (ج) اگر a و b و c سه عدد مثبت باشند و 0165، مقدار عبارت زیر را به دست آورید:
    0166

    منبع: کتاب ریاضی 1 استعدادهای درخشان آموزش و پرورش
            مسابقات ریاضی کشوری- فروردین 1365 

    حل مساله:

    (الف) با توجه به اتحاد اول، اگر 0161 آنگاه سمت چپ اتحاد اول، صفر خواهد شد و در نتیجه در سمت راست یا پرانتز اول صفر است یا پرانتز دوم. حال با توجه به اتحاد دوم، مساله الف حل می شود.

    (ب)  توجه کنید که مجموع عبارات داخل پرانتز ها صفر است. حال از مساله الف و نیز اتحاد مزدوج استفاده کنید تا به عبارت زیر که جواب مساله است، برسید:

    0167

    (ج)  با توجه به اتحاد دوم نتیجه می شود 0163. بنابراین 0168جواب مساله است.
  7. n نقطه روی یک دایره انتخاب و وترهای بین هر جفت از این نقطه ها رسم شده اند. با فرض اینکه هیچ سه وتری (مگر در نقطه های انتهایی) همرس نباشند، چند نقطه تقاطع وجود دارد؟

    منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

    حل مساله:

    در شکل زیر حالت مربوط به n=5 رسم شده است. توجه کنید که هر نقطه تقاطع (داخلی) چهار نقطه را مشخص می کند و خود به وسیله چهار نقطه واقع بر دایره مشخص می شود (این چهار نقطه به شکل منحصر به فردی دو وتر را مشخص می کنند که در داخل دایره یکدیگر را قطع می کنند). پس تعداد نقطه های تقاطع 0275است.

    circle-graph

  8. می توان عدد ۵ را با در نظر گرفتن ترتیب عاملهای جمع، به ۶ طریق به صورت مجموعی از ۳ عدد طبیعی نوشت:

    0303

    فرض کنید m و n  اعداد طبیعی باشند که 0304. با در نظر گرفتن ترتیب عاملهای جمع، به چند طریق می توان عدد n را به شکل مجموعی از m عدد طبیعی نوشت؟

    منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

    حل مساله:

    n  را به شکل مجموعی از n تا 1 می نویسیم. عددی که به دنبالش هستیم مساوی است با تعداد انتخابهای m-1 علامت از میان n-1 علامت جمع؛ یعنی 0305.

  9. طول ضلعهای مثلثی قائم الزاویه، سه جمله متوالی تصاعد حسابی هستند. ثابت کنید که نسبت طول ضلعهای این مثلث  ۳:۴:۵  است. 

    منبع: کتاب پانصد مساله ریاضی پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

    حل مساله:

    سه طول مورد نظر به شکل  a-d ، a و a+d  هستند و لذا 0376. پس 0377. بنابر این طول ضلعهای مثلث 4d، 3d و 5d است.

  10. نشان دهید که به ازای هر عدد صحیح n، 0398 یک عدد اول نیست.

    منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله-ترجمه علی ساوجی

    حل مساله:

    می توان نوشت:
    0399

    از طرف دیگر با حل معادلات ساده درجه 2 می توان نشان داد که

    0400
    بنابر این، 0398 همواره مرکب است و عدد اولی نیست.

    6/6/1385
  11.  مقدار عبارت زیر را - بدون استفاده از ماشین حساب - به دست آورید:

    حل مساله:

     برای دیدن حل این مساله به لینک زیر مراجعه فرمایید:

    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w16.gif

    این مساله در المپیاد ریاضی کشور در سال 1367 مطرح شده بود. (کتاب المپیاد ریاضی در ایران - تالیف دکتر عبادالله محمودیان)

    ۱۴/۱۰/۱۳۸۵

  12. معادله ی زیر را حل کنید:

    La1