ریاضیات مقدماتی و تخصصی - مسائل جبر و احتمال سال سوم ریاضی

مهدی مفیدی احمدی

صفحه اصلی وبلاگ

تذکر مهم: بازدید کننده محترم، اگر تصاویر و فرمولهای این صفحه را نمی بینید صفحه را refresh کنید.
اگر باز هم تصاویر و فرمولهای ظاهر نشدند، لطفا این مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
ممنون و متشکرم.

فرض کنید {x_i} دنباله ای از اعداد حقیقی ناصفر باشد که رابطه زیر، بین آنها برقرار است:

شرط لازم و کافی برای x₁ و x₂ چنان بیابید که به ازای تعدادی نامتناهی از مقدارهای x_n، n عددی صحیح باشد.

منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله - ترجمه علی ساوجی

حل مساله:

با محاسبه x₃ و x₄ و x₅می توان رابطه زیر را حدس زد که البته با استقراء ثابت می شود:

اگر x₁ و x₂ متمایز باشند، بعد از چند مرحله بالاخره اندازه مخرج از صورت بیشتر می شود و در نتیجه x_nعددیصحیح نخواهد بود. پس شرط لازم و کافی خواسته شده این است که x₁ = x₂.
فرض کنید برای همه اعداد a, b, c, d که d≥c≥b≥a≥0، نامساوی

برقرار باشد. بزرگترین مقدار ممکن K را بیابید. منبع
حل مساله:

برای a = 0, b = c = d = t > 0 نامساوی به صورت 9t²≥ Kt² در میآید و لذا K ≤ 9. حال رابطه زیر را اثبات می کنیم تا ثابت شود که  K=9.

(1)

چون d ≥ b و d ≥ c  پس می توان نوشت:

و در نتیجه

چون b + c)² ≥ 4bc)، رابطه (۱)  به دست می آید.
فرض کنید x عددی ناصفر باشد و . عبارات زیر را بر حسب a به دست آورید:

مهدی مفیدی احمدی

حل مساله:

تنها کافیست برای هر k ی طبیعی و با استقراء ثابت کنید که:

(25/4/1385)
ثابت کنید اگر ۵ نقطه در درون یا روی مربعی به ضلع ۱ واقع باشند، در میان این نقطه ها، حداقل دو نقطه وجود دارد که فاصله آنها کمتر یا مساوی است.
منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

مربع را به چهار مربع مساوی تقسیم کنید. بنابر اصل لانه کبوتری یکی از این چهار مربع، دست کم شامل دو نقطه از این ۵ نقطه است و فاصله این دو نقطه بیشتر از قطر این مربع یعنی نیست.
۱۴/۶/۱۳۸۵
ثابت کنید از بین هفت عدد طبیعی متمایز که از ۱۲۷ کمتر هستند، می توان دو عدد یافت که در نابرابریهای صدق می کنند.
منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

حل مساله:

اعداد ۱ تا ۱۲۶ را به شش مجموعه طوری تقسیم کنید که در هر مجموعه بزرگترین عدد، دو برابر کوچکترین عدد آن باشد. لذا مجموعه های زیر را داریم:

{1,2}، {3،4،5،6}، {14،...،7}، {30،...،15}، {62،...،31}، {126،...،63}.

حال اصل لانه کبوتری نتیجه را به دست می دهد.

15/7/1385
فرض کنید 1=x+y+z که y، x و z اعداد حقیقی نامنفی هستند. ثابت کنید:

منبع: المپیاد بین المللی ریاضی سال 1983

حل مساله:

براي ديدن حل کامل مساله به لينك زير مراجعه كنيد:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w15.gif

۱۵/۷/۱۳۸۵
فرض کنید:

با استفاده از نامساوی زیر

و به وسیله استقراء ثابت کنید:

حل مساله:

اگر n=1 مطلب بدیهی است. حال با استفاده از فرض استقراء و نیز نامساوی ذکر شده می توان نوشت:

۶/۱۰/۱۳۸۵
فرض کنید:

ثابت کنید:
فرض کنید:

ثابت کنید:

حل مساله:

از دوست عزیزم آقای حسین پوران که در اتاق ریاضیات مساله را به روش زیبایی حل کردند، متشکرم. بنده راه حل دیگری براساس نامساوی هندسی-حسابی در نظر داشتم؛ اما روش ایشان زیباتر و کوتاه تر است. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه کنید:

http://img2.freeimagehosting.net/image.php?1e9cb2fbdc.jpg

۷/۱۰/۱۳۸۵
مجموعه ی دلخواه 10 عضوی از اعداد طبیعی کوچکتر از 100 را در نظر بگیرید. ثابت کنید که می توان دو زیر مجموعه ی ناتهی مجزا ( یعنی با اشتراک تهی) از این مجموعه چنان یافت که مجموع اعضای یکی با مجموع اعضای دیگری برابر باشد.

حل مساله:

از mir@ که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به اینجا مراجعه فرمایید.

۱۸/۵/۱۳۸۶
فرض کنید b ،a و c اعداد حقیقی نامنفی باشند که کمتر یا مساوی 1 نیز هستند. ثابت کنید:

حل مساله:

از silentcloud که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. توجه کنید که اگر c=1 ، نامساوی واضح است. حال فرض کنید عدد c مخالف 1 باشد. ادامه راه حل را در لینک زیر مطالعه فرمایید که آنرا silentcloud ارسال کرده اند:

http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/s5.gif

۱۵/۶/۱۳۸۶
A را مجموعه اعداد طبیعی 1 تا 1000 فرض کنید. اگر n عضوی از A باشد، ثابت کنید که لگاریتم n در پایه 10عددی گویاست اگر و فقط اگر n یکی از اعداد 1، 10، 100 و 1000 باشد.

حل مساله:

مجموعه A را به سه قسمت افراز کنید:

الف) اعداد 1، 10، 100 و 1000؛

ب) اعدادی که در تجزیه آنها فقط 2 یا 5 یا هر دو ظاهر می شود اما 10، 100 و 1000 نیستند،

ج) اعدادی که بر یک عدد اول فرد غیر از 5 بخشپذیرند.

با کمی دقت و با کمک برهان خلف می توان ثابت کرد که لگاریتم اعداد قسمت (ب) و قسمت (ج) ، گویا نیستند که با این کار، حل مساله کامل می شود.

۱۴/۹/۱۳۸۶

+ نوشته شده در سه شنبه ششم تیر 1385ساعت 6:34 بعد از ظهر توسط مهدی مفیدی احمدی

مدتهاست به واسطه شغل معلمی، در صدد ایجاد یک سایت مناسب برای آموزش ریاضیات مقدماتی و حرفه ای به دانش آموزان و دانشجویان رشته ریاضی هستم. اینجانب با حدود ده سال تدریس ریاضی در مقاطع مختلف از اول دبیرستان تا کارشناسی ارشد ریاضی، به شدت کمبود چنین سایتی را احساس می کردم.
هدف از ایجاد این وبلاگ، ارتباطی تنگاتنگ با دانش آموزان و دانشجویان برای رفع مشکلات علمی آنها -در درجه اول- و ارتقای علمی آنها -در درجه دوم - است. به خوبی می دانم که این کار، کاری بسیار بزرگ، خطیر و طاقت فرساست اما در حد بضاعت علمی اندک خود، انجام این کار را لازم میدانم و سعی و تلاش خود را مصروف این کار کرده و خواهم کرد. انشاء الله.
از بازدید کنندگان محترم خاضعانه می خواهم که نقاط قوت و ضعف این وبلاگ را تذکر دهند و بنده را رهین منت خود سازند.
"و آخر دعوانا ان الحمد لله رب العالمین"
مهدی مفیدی احمدی

صفحه نخست
پست الکترونیک
آرشیو وبلاگ
عناوین مطالب وبلاگ

نوشته های پیشین

آبان 1388
مهر 1388
تیر 1388
فروردین 1388
دی 1387
تیر 1387
خرداد 1387
اردیبهشت 1387
فروردین 1387
مرداد 1386
تیر 1386
خرداد 1386
مرداد 1385
تیر 1385
خرداد 1385
اردیبهشت 1385
فروردین 1385
اسفند 1384
بهمن 1384
دی 1384
آذر 1384
آبان 1384

پیوندها

مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان
مقالات علمی - سیاسی - تاریخی

RSS

تعداد بازدیدها تاکنون