مهدی مفیدی احمدی
صفحه اصلی وبلاگ


تذکر مهم: بازدید کننده محترم، اگر تصاویر و فرمولهای این صفحه را نمی بینید صفحه را refresh کنید.
                اگر باز هم تصاویر و فرمولهای ظاهر نشدند، لطفا این مشکل را در اینجا به بنده اطلاع دهید.
                ممنون و متشکرم. 


  1. فرض کنید {xi} دنباله ای از اعداد حقیقی ناصفر باشد که رابطه زیر، بین آنها برقرار است:

    0076

    شرط لازم و کافی برای x1 و x2 چنان بیابید که به ازای تعدادی نامتناهی از مقدارهای xn، n عددی صحیح باشد.

    منبع: کتاب حل مساله از طریق مساله - ترجمه علی ساوجی

    حل مساله: 

    با محاسبه x3 و x4 و x5 می توان رابطه زیر را حدس زد که البته با استقراء ثابت می شود:

    0077

    اگر x1 و x2 متمایز باشند، بعد از چند مرحله بالاخره اندازه مخرج از صورت بیشتر می شود و در نتیجه xعددی صحیح نخواهد بود. پس شرط لازم و کافی خواسته شده این است که x1 = x2.



  2. فرض کنید برای همه اعداد a, b, c, d که d≥c≥b≥a≥0، نامساوی

    0078

    برقرار باشد. بزرگترین مقدار ممکن K را بیابید. منبع
    حل مساله:

    برای a = 0, b = c = d = t > 0  نامساوی به صورت 9t2≥ Kt2 در می آید و لذا K ≤ 9.  حال رابطه زیر را اثبات می کنیم تا ثابت شود که  K=9.
    (a + b + c + d)2 > 9bc

    (1)

    چون d ≥ b و d ≥ c  پس می توان نوشت:

                            b + c   3

    و در نتیجه

                       9

    چون b + c)2 ≥ 4bc)، رابطه (۱)  به دست می آید.


  3. فرض کنید x عددی ناصفر باشد و 0206. عبارات زیر را بر حسب a به دست آورید:

    0207


    مهدی مفیدی احمدی

    حل مساله:

    تنها کافیست برای هر k ی طبیعی و با استقراء ثابت کنید که:

    0208

    (25/4/1385)


  4. ثابت کنید اگر ۵ نقطه در درون یا روی مربعی به ضلع ۱ واقع باشند، در میان این نقطه ها، حداقل دو نقطه وجود دارد که فاصله آنها کمتر یا مساوی 0406 است.
    منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

    حل مساله:

    مربع را به چهار مربع مساوی تقسیم کنید. بنابر اصل لانه کبوتری یکی از این چهار مربع، دست کم شامل دو نقطه از این ۵ نقطه است و فاصله این دو نقطه بیشتر از قطر این مربع یعنی 0406 نیست.
    ۱۴/۶/۱۳۸۵


  5. ثابت کنید از بین هفت عدد طبیعی متمایز که از ۱۲۷ کمتر هستند، می توان دو عدد یافت که در نابرابریهای 0407 صدق می کنند.
    منبع: پانصد مساله پیکارجو - ترجمه مهران اخباریفر

    حل مساله:

    اعداد ۱ تا ۱۲۶ را به شش مجموعه طوری تقسیم کنید که در هر مجموعه بزرگترین عدد، دو برابر کوچکترین عدد آن باشد. لذا مجموعه های زیر را داریم:

    {1,2}، {3،4،5،6}، {14،...،7}، {30،...،15}، {62،...،31}، {126،...،63}.
     

    حال اصل لانه کبوتری نتیجه را به دست می دهد.

    15/7/1385

  6.  فرض کنید 1=x+y+z که y، x و z اعداد حقیقی نامنفی هستند. ثابت کنید:


    منبع: المپیاد بین المللی ریاضی سال 1983

    حل مساله:

    براي ديدن حل کامل مساله به لينك زير مراجعه كنيد:

    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/w15.gif

    ۱۵/۷/۱۳۸۵
  7.   فرض کنید:


    با استفاده از نامساوی زیر


    و به وسیله استقراء ثابت کنید:

    حل مساله:

     اگر n=1 مطلب بدیهی است. حال با استفاده از فرض استقراء و نیز نامساوی ذکر شده می توان نوشت:


    ۶/۱۰/۱۳۸۵



  8.  فرض کنید:


    ثابت کنید:


  9. فرض کنید:


    ثابت کنید:


     حل مساله:

    از دوست عزیزم آقای حسین پوران که در اتاق ریاضیات مساله را به روش زیبایی حل کردند، متشکرم. بنده راه حل دیگری براساس نامساوی هندسی-حسابی در نظر داشتم؛ اما روش ایشان زیباتر و کوتاه تر است. برای دیدن راه حل ایشان به لینک زیر مراجعه کنید:

    http://img2.freeimagehosting.net/image.php?1e9cb2fbdc.jpg


    ۷/۱۰/۱۳۸۵
  10. مجموعه ی دلخواه 10 عضوی از اعداد طبیعی کوچکتر از 100 را در نظر بگیرید. ثابت کنید که می توان دو زیر مجموعه ی ناتهی مجزا ( یعنی با اشتراک تهی) از این مجموعه چنان یافت که مجموع اعضای یکی با مجموع اعضای دیگری برابر باشد.

    حل مساله:

    از mir@ که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به اینجا مراجعه فرمایید.

    ۱۸/۵/۱۳۸۶
  11.  فرض کنید b ،a و c اعداد حقیقی نامنفی باشند که کمتر یا مساوی 1 نیز هستند. ثابت کنید:

    حل مساله:

    از silentcloud که در اتاق ریاضیات مساله را حل کردند، تشکر می کنم. توجه کنید که اگر c=1 ، نامساوی واضح است. حال فرض کنید عدد c مخالف 1 باشد. ادامه راه حل را در لینک زیر مطالعه فرمایید که آنرا silentcloud ارسال کرده اند:

    http://mahdymofidyahmedy.googlepages.com/s5.gif

    ۱۵/۶/۱۳۸۶
  12. A را مجموعه اعداد طبیعی 1 تا 1000 فرض کنید. اگر n عضوی از A باشد، ثابت کنید که لگاریتم n در پایه 10عددی گویاست اگر و فقط اگر n یکی از اعداد 1، 10، 100 و 1000 باشد.

    حل مساله:

     مجموعه A را به سه قسمت افراز کنید:

    الف) اعداد 1، 10، 100 و 1000؛

    ب) اعدادی که در تجزیه آنها فقط 2 یا 5 یا هر دو ظاهر می شود اما 10، 100 و 1000 نیستند،

    ج) اعدادی که بر یک عدد اول فرد غیر از 5 بخشپذیرند.

    با کمی دقت و با کمک برهان خلف می توان ثابت کرد که لگاریتم اعداد قسمت (ب) و قسمت (ج) ، گویا نیستند که با این کار، حل مساله کامل می شود.


    ۱۴/۹/۱۳۸۶

  13.  

+ نوشته شده در  سه شنبه ششم تیر 1385ساعت 6:34 بعد از ظهر  توسط مهدی مفیدی احمدی